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Elemente der Mathematik
Niedersachsen
Lehrbuch
Mozaik
DE-MAT11 - 1. Ausgabe,
2015
530 Seiten
Autoren: Heinz Griesel, Andreas Gundlach, Helmut Postel, Friedrich Suhr
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1 Kurvenanpassung – Lineare Gleichungssysteme .
- Lernfeld: Krumm, aber doch passend glatt 20
- 1.1 Krümmung–Wendepunkte 22
- 1.2 Bestimmen ganzrationaler Funktionen – lineare Gleichungssysteme 30
- 1.3 Lösen linearer Gleichungssysteme – Gauss-Algorithmus 34
- Blickpunkt: Computertomografie 46
- 1.4 Verschiedene Verfahren der Anpassung von Funktionen an vorgegebene Bedingungen 47
- 1.4.1 Trassierung selbst lernen 47
- 1.4.2 Interpolation – Spline-Interpolation . 52
- 1.5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 58
- 1.5.1 Stetigkeit 58
- 1.5.2 Differenzierbarkeit 61
- 1.5.3 Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit 65
- 1.6 Funktionenscharen 67
- Exkurs: Der Prioritätsstreit zwischen Newton und Leibniz 72
- 1.7 Krümmung von Funktionsgraphen Zusatz 74
- Klausurtraining 77
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2 Integralrechnung
- Lernfeld: Wie groß ist ...? 80
- 2.1 Der Begriff des Integrals 82
- 2.1.1 Orientierte Flächeninhalte – Geometrische Definition des Integrals 82
- 2.1.2 Näherungsweises Berechnen von Integralen – Analytische Definition des Integrals 88
- 2.2 Aus Änderungsraten rekonstruierter Bestand–Integralfunktionen 96
- 2.3 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 103
- 2.4 Integration mithilfe von Stammfunktionen 108
- 2.4.1 Berechnen von Integralen mithilfe von Stammfunktionen 108
- 2.4.2 Integration durch lineare Substitution 114
- 2.5 Berechnen von Flächeninhalten 116
- 2.5.1 Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse 116
- 2.5.2 Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen 121
- 2.5.3 Uneigentliche Integrale Erhöhtes Niveau 126
- Exkurs: Integralrechnung im Altertum – die Exhaustions-Methode 128
- 2.6 Volumina von Rotationskörpern Erhöhtes Niveau 130
- Klausurtraining . 135
- Bleib fit in Exponentialfunktionen und Logarithmen 137
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3 Wachstumsmodelle
- Lernfeld: Mehr und immer mehr? 142
- 3.1 Exponentielles Wachstum 144
- 3.1.1 Wachstumsgeschwindigkeit – e-Funktion 144
- 3.1.2 Ableitung von Exponentialfunktionen – Natürlicher Logarithmus 151
- 3.1.3 Beschreibung von exponentiellem Wachstum mithilfe der e-Funktion selbst lernen 155
- 3.1.4 Differenzialgleichung exponentieller Prozesse Erhöhtes Niveau . 161
- 3.2 Begrenztes Wachstum 166
- Logistisches Wachstum 171
- Vermischte Aufgaben 177
- Ketten-, Produkt- und Quotientenregel 179
- Kettenregel . 179
- Produktregel 184
- Quotientenregel 186
- Lösen von Differenzialgleichungen Zusatz 188
- Richtungsfeld – Euler-Verfahren 188
- Lösen durch Separation der Variablen 190
- Funktionsuntersuchungen 192
- Summe, Differenz und Produkt von Funktionen 192
- Quotient von Funktionen 198
- Verkettung von Funktionen 201
- Zusammenfassung: Aspekte von Funktionsuntersuchungen. 202
- Klausurtraining 209
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4 Analytische Geometrie
- Lernfeld: Wo ist was im Raum? 212
- 4.1 Punkte und Vektoren im Raum 214
- 4.1.1 Punkte im räumlichen Koordinatensystem 214
- 4.1.2 Vektoren 219
- Exkurs: Koordinatensysteme in der Geografie 223
- 4.1.3 Addition und Subtraktion von Vektoren 224
- 4.1.4 Vervielfachen von Vektoren selbst lernen 228
- Blickpunkt: Bewegung auf dem Wasser 232
- 4.2 Geraden im Raum 234
- 4.2.1 Parameterdarstellung einer Geraden 234
- 4.2.2 Lagebeziehungen zwischen Geraden 241
- Blickpunkt: Licht und Schatten 248
- 4.3 Winkel im Raum 250
- 4.3.1 Orthogonalität zweier Vektoren – Skalarprodukt 250
- 4.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren 256
- 4.3.3 Vektorprodukt Zusatz 260
- Lernfeld: Ebenen – Ungekrümmtes im Raum . 264
- 4.4 Ebenen im Raum 266
- 4.4.1 Parameterdarstellung einer Ebene 266
- 4.4.2 Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene 272
- 4.4.3 Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen Erhöhtes Niveau 276
- Exkurs: Die Entstehung der Analytischen Geometrie – Fermat und Descartes . 279
- 4.5 Normalenvektor einer Ebene Zusatz 282
- 4.5.1 Normalenvektor und Koordinatengleichung einer Ebene 282
- 4.5.2 Abstandsberechnungen . 287
- 4.5.3 Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene 291
- 4.5.4 Winkel zwischen zwei Ebenen selbst lernen 294
- Klausurtraining 297
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5 Matrizen
- Lernfeld: Überblick behalten mit Tabellen 300
- 5.1 Matrizen – Addieren und Vervielfachen 302
- 5.2 Multiplikation von Matrizen 306
- 5.3 Materialverflechtung 311
- 5.4 Chiffrieren und Dechiffrieren – Inverse Matrix selbst lernen 317
- 5.5 Bedarfsermittlung 321
- Blickpunkt: Das Leontief-Modell 325
- 5.6 Beschreiben von Zustandsänderungen durch Matrizen 329
- 5.6.1 Übergangsmatrizen – Matrixpotenzen 329
- 5.6.2 Fixvektor – Grenzmatrix 335
- 5.6.3 Populationsentwicklungen–Zyklische Prozesse Erhöhtes Niveau 339
- Klausurtraining 344
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6 Häufigkeitsverteilungen – Beschreibende Statistik
- Lernfeld: Erheben, Darstellen und Auswerten von Daten 346
- 6.1 Merkmale – Relative Häufigkeit 348
- 6.1.1 Arithmetisches Mittel einer Häufigkeitsverteilung 348
- 6.1.2 Klassieren von Daten – Histogramm selbst lernen 354
- Blickpunkt: Das Simpson’sche Paradoxon 359
- 6.2 Streuung–Empirische Standardabweichung 361
- 6.3 Regression und Korrelation Zusatz 365
- 6.3.1 Regressionsgerade 365
- 6.3.2 Korrelationskoeffizient 370
- Klausurtraining 375
- Bleib fit im Umgang mit Wahrscheinlichkeiten 377
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7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen
- Lernfeld: Ein Zufall nach dem anderen 384
- 7.1 Zufallsgröße – Erwartungswert einer Zufallsgröße 386
- 7.2 Binomialverteilung 391
- 7.2.1 Bernoulli-Ketten 391
- 7.2.2 Binomialkoeffizienten – Bernoulli-Formel 392
- 7.2.3 Rekursive Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Ketten selbst lernen 402
- 7.3 Erwartungswert einer Binomialverteilung 406
- 7.4 Anwendungen der Binomialverteilung 410
- 7.4.1 Kumulierte Binomialverteilung–Auslastungsmodell 410
- 7.4.2 Das Kugel-Fächer-Model 415
- Blickpunkt: Das Problem der vollständigen Serie 421
- Klausurtraining 423
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8 Beurteilende Statistik
- Lernfeld: Stichproben liefern weitreichende Erkenntnisse 426
- 8.1 Binomialverteilung für große Stufenzahlen 428
- 8.1.1 Standardabweichung bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen 428
- 8.1.2 Die Sigma-Regeln 432
- 8.2 Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe 436
- 8.3 Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit – Konfidenzintervalle 442
- 8.3.1 Schätzung der zugrunde liegenden Erfolgswahrscheinlichkeit 442
- 8.3.2 Wahl eines genügend großen Stichprobenumfangs 447
- Exkurs: Anfänge der Wahrscheinlichkeitsrechnung – Pascal und Huygens 450
- 8.4 Normalverteilung Erhöhtes Niveau 454
- 8.4.1 Annäherung der Binomialverteilung durch eine Normalverteilung 454
- 8.4.2 Wahrscheinlichkeiten bei normalverteilten Zufallsgrößen selbst lernen 460
- 8.4.3 Bestimmen der Kenngrößen von normalverteilten Zufallsgrößen . 464
- 8.5 Stetige Zufallsgrößen Erhöhtes Niveau 468
- Klausurtraining 475
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9 Aufgaben zur Vorbereitung auf das Abitur